4 cos (x + pi/4) + 2*sqrt(2) cos (pi - x) = 2

Решение:

1. Раскроем скобки, используя формулы тригонометрии:
   • \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
   • \( \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) \)
   • \( \cos(\pi - x) = -\cos x \)
2. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
3. \( 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) + 2\sqrt{2}(-\cos x) = 2 \)
4. Упростим:
5. \( 2\sqrt{2}(\cos x - \sin x) - 2\sqrt{2}\cos x = 2 \)
6. \( 2\sqrt{2}\cos x - 2\sqrt{2}\sin x - 2\sqrt{2}\cos x = 2 \)
7. \( -2\sqrt{2}\sin x = 2 \)
8. Выразим \( \sin x \):
9. \( \sin x = \frac{2}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
10. Найдем значения \( x \) из уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
11. Это соответствует углам \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).