№4. Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что прямая B₁D перпендикулярна плоскости A₁BC₁. б) Найдите угол между плоскостями AB₁C₁ и A₁B₁C₁.

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a), B₁(a; 0; a), C₁(a; a; a).

а) Направляющий вектор прямой B₁D: v = (−a; a; −a). В плоскости A₁BC₁ лежат векторы A₁B = (a; 0; −a) и A₁C₁ = (a; a; 0). Их векторное произведение — нормаль к плоскости: A₁B × A₁C₁ = (a²; −a²; a²) = −a·v. Значит, направление B₁D совпадает с направлением нормали к плоскости, поэтому B₁D ⟂ (A₁BC₁).

б) Для плоскости AB₁C₁ нормаль можно найти как AB₁ × AC₁ = (−a²; 0; a²). Для плоскости A₁B₁C₁ все три точки имеют координату z = a, поэтому её нормаль направлена вдоль (0; 0; 1). Угол между нормалями, а значит и между плоскостями, равен 45°.

Ответ: а) B₁D ⟂ (A₁BC₁); б) 45°.