4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ АС₁ равна 2√3. Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н — середины ребер ВС, ВВ₁ и АВ соответственно.

Решение:

1. Найдем длину ребра куба:

В прямоугольном параллелепипеде (частный случай — куб) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Для куба все ребра равны, обозначим длину ребра как 'a'.

Диагональ куба \( d = \boldsymbol{a}\boldsymbol{\sqrt{3}} \).

Нам дана диагональ AC₁, которая является диагональю куба. \( AC₁ = 2\boldsymbol{\sqrt{3}} \).

Приравниваем: \( a\boldsymbol{\sqrt{3}} = 2\boldsymbol{\sqrt{3}} \).

Отсюда, длина ребра куба \( a = 2 \) см.

2. Определим положение точек Р, Т, Н:

• Р — середина ребра ВС.
• Т — середина ребра ВВ₁.
• Н — середина ребра АВ.

3. Найдем длину отрезков РТ, ТН, НР:

Рассмотрим треугольник ВВС₁: Т — середина ВВ₁, Р — середина ВС. Отрезок РТ — средняя линия треугольника ВВС₁.

\( RT = \frac{1}{2} BC_1 \). Но \( BC_1 \) — это диагональ грани куба. \( BC_1 = \boldsymbol{a}\boldsymbol{\sqrt{2}} = 2\boldsymbol{\sqrt{2}} \).

\( RT = \frac{1}{2} \times 2\boldsymbol{\sqrt{2}} = \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

Рассмотрим треугольник АВВ₁: Н — середина АВ, Т — середина ВВ₁. Отрезок НТ — средняя линия треугольника АВВ₁.

\( HT = \frac{1}{2} AB_1 \). \( AB_1 \) — диагональ грани куба. \( AB_1 = \boldsymbol{a}\boldsymbol{\sqrt{2}} = 2\boldsymbol{\sqrt{2}} \).

\( HT = \frac{1}{2} \times 2\boldsymbol{\sqrt{2}} = \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

Рассмотрим треугольник АВС: Н — середина АВ, Р — середина ВС. Отрезок НР — средняя линия треугольника АВС.

\( HR = \frac{1}{2} AC \). \( AC \) — диагональ основания куба. \( AC = \boldsymbol{a}\boldsymbol{\sqrt{2}} = 2\boldsymbol{\sqrt{2}} \).

\( HR = \frac{1}{2} \times 2\boldsymbol{\sqrt{2}} = \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

4. Найдем периметр сечения:

Сечение куба плоскостью РТН является треугольником РТН. Все стороны этого треугольника равны \( \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см. Следовательно, треугольник РТН — равносторонний.

Периметр сечения = \( PT + TH + HR = \boldsymbol{\sqrt{2}} + \boldsymbol{\sqrt{2}} + \boldsymbol{\sqrt{2}} = 3\boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

Ответ: Периметр сечения куба равен 3√2 см.