4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, P ∈ BB₁, B₁P = PB. 1) Постройте точку пересечения плоскости ABC с прямой D₁P? 2) Постройте линию пересечения плоскости AD₁P и ABB₁? 3) Вычислите длину отрезков AP и AD₁, если AB = a.

1) Так как P лежит на ребре BB₁, а D₁ — вершина куба, прямая D₁P лежит в плоскости диагонального сечения BDD₁B₁. Плоскость ABC пересекает эту плоскость по прямой BD.

Построим точку Q = D₁P ∩ BD. Для построения достаточно продолжить прямую D₁P до её пересечения с прямой BD. Точка Q и есть искомая точка пересечения прямой D₁P с плоскостью ABC.

2) Плоскость AD₁P и плоскость ABB₁ имеют общую точку A. Кроме того, точка P принадлежит плоскости ABB₁, поскольку P лежит на ребре BB₁, и по условию P принадлежит плоскости AD₁P.

Следовательно, линия пересечения данных плоскостей проходит через точки A и P:

AD₁P ∩ ABB₁ = AP.

3) Так как P — середина ребра BB₁, то

\(BP = \dfrac{a}{2}\).

В прямоугольном треугольнике ABB₁ отрезок AP — гипотенуза:

\[AP^2 = AB^2 + BP^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{5a^2}{4}.\]

Следовательно,

\[AP = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\]

Отрезок AD₁ является диагональю куба. По теореме Пифагора в пространстве:

\[AD_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = a^2+a^2+a^2=3a^2.\]

Поэтому

\[AD_1=a\sqrt{3}.\]

Ответ: 1) Q = D₁P ∩ BD; 2) линия пересечения — AP; 3) \(AP=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\), \(AD_1=a\sqrt{3}\).