4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 12. K ∈ AA₁, L ∈ DD₁. A₁K:KA = 1:3, D₁L:LD = 2:1. Проведена прямая KL. а) Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABD. б) Найдите точку пересечения прямых KL и A₁D₁. в) Укажите линию пересечения плоскостей A₁AD и B₁EF. г) Найдите длину KL.

Введём координаты: A(0; 0; 0), D(12; 0; 0), B(0; 12; 0), A₁(0; 0; 12), D₁(12; 0; 12).

Так как A₁K:KA = 1:3, то KA₁ = 9, поэтому K(0; 0; 9).

Так как D₁L:LD = 2:1, то LD = 4, поэтому L(12; 0; 4).

Прямая KL лежит в плоскости ADD₁A₁. Её параметрические координаты:

\[x=12t,\qquad y=0,\qquad z=9-5t.\]

1. Плоскость ABD имеет уравнение z=0. Найдём параметр:

   \[9-5t=0,\qquad t=\frac95.\]

   Тогда \(x=12\cdot\frac95=\frac{108}{5}=21.6\). Полученная точка лежит на продолжении прямой AD за точкой D и обозначена на рисунке буквой F.

2. Плоскость A₁D₁ содержит точки с координатой z=12. Поэтому:

   \[9-5t=12,\qquad t=-\frac35.\]

   Точка пересечения лежит на продолжении прямой A₁D₁ за точкой A₁ и обозначена буквой E.

3. Плоскость A₁AD содержит прямую EF, поскольку точки E и F лежат в этой плоскости. Точки E, F также принадлежат плоскости B₁EF. Следовательно, линия пересечения плоскостей — прямая EF.

4. Разности координат точек K и L:

   \[\Delta x=12,\qquad \Delta y=0,\qquad \Delta z=4-9=-5.\]

   \[KL=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.\]

Ответ: а) F; б) E; в) прямая EF; г) KL = 13.