4. Дан прямоугольная трапеция ABCD. Большая боковая сторона CD равна меньшему основанию BC. Площадь этой трапеции равна 90√3 см². Известно, что ∠BCD = 120°. Найдите длину большего основания трапеции.

Обозначим меньшее основание \(BC=a\), большее основание — \(AD=b\), а высоту — \(h\). Так как \(CD=BC=a\), а угол между боковой стороной \(CD\) и основанием \(BC\) равен \(120^\circ\), высота трапеции равна

\(h=a\sin120^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}\).

Горизонтальная проекция боковой стороны \(CD\) на направление оснований по модулю равна \(a\cos60^\circ=\frac a2\). Поскольку \(\angle BCD=120^\circ\), верхнее основание смещено относительно нижнего так, что \(b-a=\frac a2\), следовательно, \(b=\frac{3a}{2}\).

Используем формулу площади трапеции:

\(90\sqrt3=\frac{a+b}{2}\,h=\frac{a+\frac{3a}{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{5a^2\sqrt3}{8}\).

Отсюда \(a^2=144\), значит, \(a=12\) см и \(b=\frac32\cdot12=18\) см.

Ответ: 18