4. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Постройте вектор \(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}\) и найдите \(|\vec m|\), если \(BC=9\) см.

Так как \(-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\), получаем:

\(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\).

Поскольку \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}\), удобнее использовать координаты: пусть \(C\) — начало координат, \(\overrightarrow{CA}=\vec a\), \(\overrightarrow{CB}=\vec b\). Тогда

\(\overrightarrow{BA}=\vec a-\vec b\), \(\overrightarrow{BC}=-\vec b\), \(-\overrightarrow{CA}=-\vec a\).

Следовательно, \(\vec m=(\vec a-\vec b)-\vec b-\vec a=-2\vec b=2\overrightarrow{BC}\).

Поэтому \(|\vec m|=2\cdot BC=2\cdot9=18\) см.

Ответ: \(\vec m=2\overrightarrow{BC}\), \(|\vec m|=18\) см.