4. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого ∠С-прямой, катет ВС=6 см и ∠A=60°. Найдите:

Задание 4. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный \( \triangle ABC \)
• \( \angle C = 90^\circ \)
• \( BC = 6 \) см
• \( \angle A = 60^\circ \)

а) Остальные стороны ДАВС

Решение:

1. Сначала найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. Используем тригонометрические соотношения. Чтобы найти катет \( AC \), используем тангенс \( \angle A \): \[ \tan(A) = \frac{BC}{AC} \] \[ \tan(60^\circ) = \frac{6}{AC} \] \( \sqrt{3} = \frac{6}{AC} \) \( AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
3. Чтобы найти гипотенузу \( AB \), используем синус \( \angle C \) или косинус \( \angle A \): \[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{6}{AB} \] \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AB} \) \( AB = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( AC = 2\sqrt{3} \) см, \( AB = 4\sqrt{3} \) см.

б) Площадь ДАВС

Решение:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]
2. Подставим найденные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 6 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] см².

Ответ: Площадь \( \triangle ABC \) равна \( 6\sqrt{3} \) см².

в) Длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение:

1. Площадь треугольника также можно найти, как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную к ней: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c \]
2. Подставим известные значения площади и гипотенузы: \[ 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot h_c \]
3. Решим уравнение относительно \( h_c \): \[ 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h_c \] \[ h_c = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \] см.

Ответ: Длина высоты \( h_c \) равна 3 см.