4. Дан ромб ABCD. Найдите величину ∠ABD + ∠BDC, если известно, что ∠BAD = 72°.

Привет! Давай разберемся с этим ромбом.

Что нам известно?

• ABCD — это ромб.
• \[ \angle BAD = 72° \]

Что нужно найти?

• \[ \angle ABD + \angle BDC \]

Твои суперспособности для решения:

• Свойства ромба:
  • Все стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.
  • Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Свойства треугольника:
  • Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

Разбор полетов:

1. Находим угол ∠ABC: В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит,
   \[ \angle ABC = 180° - \angle BAD = 180° - 72° = 108° \]
2. Углы в треугольнике ABD: Диагональ BD делит угол
   \[ \angle ABC \] пополам (потому что в ромбе диагонали являются биссектрисами углов). Значит,
   \[ \angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{108°}{2} = 54° \]
3. Углы в треугольнике BCD: Угол
   \[ \angle BCD \] равен углу
   \[ \angle BAD \] (противоположные углы ромба равны), то есть
   \[ \angle BCD = 72° \]. Диагональ BD также делит этот угол пополам:
   \[ \angle BDC = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{72°}{2} = 36° \]
4. Складываем углы: Теперь складываем найденные углы:
   \[ \angle ABD + \angle BDC = 54° + 36° = 90° \]

Альтернативный способ (через треугольник ABD):

1. Угол ∠ADB: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, значит,
   \[ \angle ADB = 90° \].
2. Угол ∠ABD: В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. Мы знаем
   \[ \angle BAD = 72° \] и
   \[ \angle ADB = 90° \]. Значит,
   \[ \angle ABD = 180° - 72° - 90° = 18° \]
3. Угол ∠BDC: Угол
   \[ \angle BDC \] равен углу
   \[ \angle ABD \] (накрест лежащие углы при параллельных сторонах AB и CD и секущей BD). Значит,
   \[ \angle BDC = 18° \].
4. Складываем углы:
   \[ \angle ABD + \angle BDC = 18° + 18° = 36° \]

Стоп! Кажется, я ошиблась в первом способе. Проверим еще раз.

1. Углы ромба:
   \[ \angle BAD = 72° \], значит
   \[ \angle ABC = 180° - 72° = 108° \].
   \[ \angle BCD = 72° \],
   \[ \angle CDA = 108° \].
2. Диагональ BD делит углы
   \[ \angle ABC \] и
   \[ \angle CDA \] пополам.
3. Угол ∠ABD:
   \[ \angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{108°}{2} = 54° \].
4. Угол ∠BDC:
   \[ \angle BDC = \frac{\angle CDA}{2} = \frac{108°}{2} = 54° \].
5. Сумма:
   \[ \angle ABD + \angle BDC = 54° + 54° = 108° \]

Еще одна проверка!

В ромбе ABCD,
\[ \angle BAD = 72° \]. Диагональ AC делит
\[ \angle BAD \] пополам:
\[ \angle BAC = \angle CAD = 72° / 2 = 36° \].

В треугольнике ABC:
\[ \angle ABC = 180° - 72° = 108° \].

В ромбе диагонали перпендикулярны:
\[ \angle AOB = 90° \] (где O — точка пересечения диагоналей).

В треугольнике AOB:
\[ \angle ABO = 180° - 90° - 36° = 54° \].

Так как диагональ BD делит
\[ \angle ABC \] пополам, то
\[ \angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{108°}{2} = 54° \].

В ромбе противоположные углы равны,
\[ \angle BCD = \angle BAD = 72° \].

Диагональ BD делит
\[ \angle BCD \] пополам:
\[ \angle BDC = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{72°}{2} = 36° \].

Складываем:
\[ \angle ABD + \angle BDC = 54° + 36° = 90° \].

Окончательный ответ:

Ответ: 90°