4. Дан треугольник с вершинами A(2; −1; 3), B(1; 1; 1) и C(0; 0; 8). Определить его внутренний угол при вершине C.

Найдём векторы, выходящие из вершины C:

\(\overrightarrow{CA}=A-C=(2;-1;-5)\), поэтому \(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{30}\).

\(\overrightarrow{CB}=B-C=(1;1;-7)\), поэтому \(|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-7)^2}=\sqrt{51}\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot1+(-1)\cdot1+(-5)\cdot(-7)=36\).

Тогда \(\cos C=\frac{36}{\sqrt{30}\sqrt{51}}=\frac{12}{\sqrt{170}}\).

Ответ: \(C=\arccos\left(\frac{12}{\sqrt{170}}\right)\approx 23.1^\circ\).