4. Дана функция \(f(x)=\sqrt{-x^2+6x-5}\). Найдите: а) область определения функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [2; 5].

а) Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(-x^2+6x-5=-(x-1)(x-5)\geq 0\), откуда \(x\in[1;5]\).

б) Возрастание и убывание. Представим функцию в виде \(f(x)=\sqrt{4-(x-3)^2}\). При движении от \(x=1\) к \(x=3\) значение \((x-3)^2\) уменьшается, поэтому функция возрастает; от \(x=3\) к \(x=5\) оно увеличивается, поэтому функция убывает.

Функция возрастает на [1; 3] и убывает на [3; 5].

в) Значения на отрезке [2; 5]. Наибольшее значение достигается в вершине при \(x=3\): \(f(3)=\sqrt{4}=2\). Минимум проверяем на концах и в точке, где функция обращается в ноль: \(f(2)=\sqrt{3}\), \(f(5)=0\). Следовательно, наименьшее значение равно 0.

Ответ: область определения — [1; 5]; функция возрастает на [1; 3] и убывает на [3; 5]; на [2; 5] наибольшее значение равно 2, наименьшее — 0.