4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = ∠B = 90°), в которую вписана окружность радиус 7см. Сторона CD равна 18 см. Найти среднюю линию трапеции.

Решение:

В прямоугольную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\( AB + CD = AD + BC \)

Так как трапеция прямоугольная, \( AD \) является высотой, и \( AD = 2r = 2 × 7 = 14 \) см.

\( AB + 18 = 14 + BC \)

\( AB - BC = 14 - 18 \)

\( AB - BC = -4 \)

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AB + CD}{2} \).

Для того чтобы найти среднюю линию, нам нужно найти длину основания AB. Можно опустить перпендикуляр из C на AB, обозначим точку пересечения K. Тогда ABCD — прямоугольник, если AD=BC. Однако, в условии сказано, что трапеция прямоугольная, и в нее вписана окружность. В этом случае AD = BC, если это квадрат. Но это трапеция. Вписанная окружность касается всех сторон. Радиус вписанной окружности в прямоугольную трапецию равен половине высоты, то есть \( r = \frac{AD}{2} \). Следовательно, \( AD = 2r = 2 × 7 = 14 \) см.

Для вписанной окружности выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна. В нашем случае \( AB + CD = AD + BC \).

\( AB + 18 = 14 + BC \) (1)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, проведенной из C к AB (точка H). Тогда CH = AD = 14 см, BH = CD = 18 см. BC — гипотенуза.

В прямоугольной трапеции ABCD с вписанной окружностью, касательной в точках P, Q, R, S к сторонам AB, BC, CD, DA соответственно. Точка касания на боковой стороне BC делит ее на отрезки \( x \) и \( y \). \( BP = BQ = r = 7 \), \( CS = CR = r = 7 \).

Пусть \( AB = a \), \( CD = b \), \( BC = c \), \( AD = d \). В данном случае \( a = AB \), \( b = 18 \), \( d = 14 \). Так как трапеция прямоугольная, \( AD = h = 14 \).

Для вписанной окружности \( a+b = c+d \) => \( AB + 18 = BC + 14 \) => \( AB - BC = -4 \).

В прямоугольной трапеции, если опустить высоту из C на AB (точка K), то AK = CD = 18, BC = \( \sqrt{AD^2 + BK^2} \) = \( \sqrt{14^2 + (AB-18)^2} \). Это неверно.

В прямоугольной трапеции ABCD с \( \angle A = \angle B = 90° \), в которую вписана окружность радиуса \( r=7 \) см. Высота \( AD = 2r = 14 \) см. Основание \( CD = 18 \) см.

Свойство касательных: отрезки касательных, проведенных из вершины многоугольника к вписанной окружности, равны. Обозначим точки касания: на AB - M, на BC - N, на CD - P, на AD - Q.

\( AM = AQ \), \( BM = BN \), \( CN = CP \), \( DP = DQ \).

Так как \( AD \) — высота, \( AD = 14 \). \( Q \) — точка касания на AD. \( DQ = r = 7 \), \( AQ = r = 7 \).

\( AB = AM + MB \). \( BC = BN + NC \). \( CD = CP + PD = 18 \).

Так как \( AD \) — перпендикуляр, \( AB \) — перпендикуляр, то ABMQ — квадрат. \( AM = AQ = 7 \), \( MB = BN = 7 \).

\( CP = CD - PD = 18 - PD \). \( CN = CP \).

\( BC = BN + CN = 7 + (18 - PD) \).

В прямоугольном треугольнике BNC, \( BC^2 = BN^2 + NC^2 \) — это неверно, так как N лежит на BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком, проведенным из C параллельно AD до AB. Обозначим эту точку E. Тогда CEDA — прямоугольник. \( CE = AD = 14 \), \( AE = CD = 18 \). \( EB = AB - AE = AB - 18 \).

В прямоугольном треугольнике CEB: \( BC^2 = CE^2 + EB^2 \) => \( BC^2 = 14^2 + (AB - 18)^2 \).

Из свойства вписанной окружности: \( AB + CD = BC + AD \).

\( AB + 18 = BC + 14 \)

\( BC = AB + 4 \).

Подставляем во второе уравнение:

\( (AB + 4)^2 = 14^2 + (AB - 18)^2 \)

\( AB^2 + 8AB + 16 = 196 + AB^2 - 36AB + 324 \)

\( 8AB + 16 = 196 - 36AB + 324 \)

\( 8AB + 36AB = 196 + 324 - 16 \)

\( 44AB = 504 \)

\( AB = \frac{504}{44} = \frac{126}{11} \) см.

Средняя линия трапеции \( m = \frac{AB + CD}{2} \) = \( \frac{\frac{126}{11} + 18}{2} = \frac{\frac{126 + 198}{11}}{2} = \frac{324}{11 × 2} = \frac{162}{11} \) см.

Проверка:

\( BC = AB + 4 = \frac{126}{11} + 4 = \frac{126 + 44}{11} = \frac{170}{11} \) см.

\( BC^2 = (\frac{170}{11})^2 = \frac{28900}{121} \).

\( 14^2 + (AB - 18)^2 = 196 + (\frac{126}{11} - 18)^2 = 196 + (\frac{126 - 198}{11})^2 = 196 + (\frac{-72}{11})^2 = 196 + \frac{5184}{121} = \frac{196 × 121 + 5184}{121} = \frac{23716 + 5184}{121} = \frac{28900}{121} \). Расчет верен.

Ответ: \( \frac{162}{11} \) см.