4. Дано: AB = 5 см, BC = 4 см, AC = 3 см, DK = 12 см, DE = 8 см, AE = BF, ∠DBE = ∠DEB. Найдите на рисунке равные треугольники и докажите, что они равны.

Из равенства углов треугольника DBE следует, что противолежащие им стороны равны: DB = DE = 8 см. Тогда BK = DK − DB = 12 − 8 = 4 см.

Так как A, B, E, F лежат на одной прямой и AE = BF, а AE = AB + BE и BF = BE + EF, получаем AB = EF = 5 см.

В треугольниках ABC и FEB: AB = EF = 5 см, BC = BK = 4 см, AC = FB — это не следует из данных. Однако из рисунка и данных равными оказываются треугольники ABC и FEB по трём сторонам, если сравнить AC с FB: имеющихся условий для этого недостаточно.

Действительно, BE = DE = 8 см, поскольку ∠DBE = ∠DEB. Но эти данные не определяют стороны EF и FB отдельно: условие AE = BF даёт EF = AB = 5 см, а для треугольника FEB известны EF = 5 см и BK = 4 см, но FB не задано. Следовательно, доказать равенство ABC и FEB нельзя.

Из данных можно доказать равенство треугольников DBE и EBD: DB = DE, BE — общая сторона, а углы DBE и DEB равны. Это один и тот же треугольник с переставленными вершинами, поэтому нетривиальной пары разных изображённых треугольников из имеющихся условий не следует.

Ответ: данных недостаточно, чтобы определить равные треугольники на рисунке; для требуемого доказательства, вероятно, в условии пропущено дополнительное равенство или обозначение.