4. Дано: AB || CD, AB = CD. Доказать: AF = EC

Решение:

Дано:

• \( AB ‖ CD \)
• \( AB = CD \)
• \( ∠ F = ∠ D = 90^{\circ} \)

Доказать:

• \( AF = EC \)

Доказательство:

Рассмотрим четырёхугольник \( ABCD \).

Так как \( AB ‖ CD \) и \( AB = CD \), то четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит \( ∠ B = ∠ D \) и \( ∠ A = ∠ C \).

Однако, из условия дано \( ∠ F = 90^{\circ} \) и \( ∠ D = 90^{\circ} \). Если \( ∠ D = 90^{\circ} \), то параллелограмм \( ABCD \) является прямоугольником.

Если \( ABCD \) — прямоугольник, то \( ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90^{\circ} \).

На рисунке для задачи 4 показан четырёхугольник \( ABCD \) и диагональ \( AC \), а также перпендикуляры \( EF \) и \( EF \) из \( F \) на \( AC \) и из \( E \) на \( AC \).

Условие \( ∠ F = ∠ D = 90^{\circ} \) относится к точкам \( F \) и \( D \), которые, видимо, являются вершинами прямоугольных треугольников.

В задаче 4 дано: \( AB ‖ CD \), \( AB = CD \). Это означает, что \( ABCD \) — параллелограмм.

Также дано \( ∠ F = ∠ D = 90^{\circ} \). На рисунке для задачи 4, \( F \) и \( E \) — точки на диагонали \( AC \). \( BF ⊥ AC \) и \( DE ⊥ AC \).

Если \( ABCD \) — параллелограмм, то \( ∠ BAC = ∠ DCA \) (как накрест лежащие при \( AB ‖ CD \) и секущей \( AC \)).

Рассмотрим треугольники \( △ ABF \) и \( △ CDE \).

В этих треугольниках: \( ∠ AFB = 90^{\circ} \) и \( ∠ CED = 90^{\circ} \) (исходя из рисунка, \( F \) и \( E \) — основания перпендикуляров к \( AC \)).

\( AB = CD \) (дано).

\( ∠ BAF = ∠ DCE \) (т.е. \( ∠ BAC = ∠ DCA \), как накрест лежащие углы).

Поэтому треугольники \( △ ABF \) и \( △ CDE \) равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: \( AF = CE \).

Доказано.