4. Дано: ABCD - параллелограмм. Найти: P_{ABCD}, S_{ABCD}.

Решение:

На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Нам даны длины сторон и диагонали, а также углы.

1. Найдем периметр параллелограмма (P_ABCD):

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин смежных сторон:

\( P_{ABCD} = 2(AB + AD) \)

Из рисунка видно, что длина стороны AD = 7.

Также на рисунке указано, что угол при вершине B равен 45 градусов, и перпендикуляр, опущенный из вершины A на сторону AB, указывает на прямой угол (90 градусов). Это означает, что угол BAD = 90 градусов. Если один из углов параллелограмма равен 90 градусам, то это прямоугольник.

Таким образом, ABCD — это прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны, и диагонали равны.

Нам необходимо определить длину стороны AB. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол ABD = 45 градусов, угол BAD = 90 градусов. Следовательно, угол ADB = 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Треугольник ABD является равнобедренным прямоугольным треугольником, где AB = AD.

Так как AD = 7, то AB = 7.

Теперь можем найти периметр:

\( P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(7 + 7) = 2(14) = 28 \)

2. Найдем площадь параллелограмма (S_ABCD):

Так как ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведению длин смежных сторон:

\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \)

\( S_{ABCD} = 7 \cdot 7 = 49 \)

Проверка:

Если ABCD — прямоугольник, то диагональ BD делит его на два равных прямоугольных треугольника ABD и CBD. В треугольнике ABD углы равны 90, 45, 45 градусов. Это подтверждает, что AB = AD.

Альтернативный подход для площади:

Площадь параллелограмма также можно найти по формуле: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \), где \( a \) и \( b \) — смежные стороны, а \( \alpha \) — угол между ними.

\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 7 \cdot 7 \cdot \sin(90^{\circ}) = 49 \cdot 1 = 49 \)

Ответ: P_ABCD = 28, S_ABCD = 49.