4. Дано: ABCD — прямоугольник, AB = 12, BC = 16. O — точка пересечения диагоналей. Найти: P_{AOB}, S_{AOB}.

Диагональ прямоугольника: \(BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20\).

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=BO=\frac{20}{2}=10\).

Периметр треугольника:

\(P_{AOB}=AB+AO+BO=12+10+10=32\).

Высота треугольника \(AOB\), проведённая к основанию \(AB\), равна половине высоты прямоугольника: \(h=\frac{12}{2}=6\).

Площадь треугольника:

\(S_{AOB}=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot12\cdot6=36\).

Ответ: \(P_{AOB}=32\), \(S_{AOB}=36\).