4. Дано: ABCD — прямоугольник; BF = FC, BE = EA, AN = ND, CM = MD; CD = 30. ∠FCM = 60°. Найти P_EFMN.

Поскольку ABCD — прямоугольник, AB = CD = 30. Точки E и M — середины его боковых сторон, поэтому BE = EA = CM = MD = 15. Точки F и N — середины верхней и нижней сторон.

Рассмотрим прямоугольный треугольник FCM: CM перпендикулярен FC, а ∠FCM = 60°. При CM = 15 получаем FM = 15 / cos 60° = 30.

По симметрии прямоугольника и расположению середин противоположных сторон EF = MN = FM = 30. Отрезок EN также равен 30: его горизонтальная и вертикальная проекции равны половине ширины прямоугольника и 15; из угла 60° следует, что половина ширины равна 15√3, поэтому EN = √((15√3)² + 15²) = 30.

Значит, P_EFMN = EF + FM + MN + NE = 30 + 30 + 30 + 30 = 120.

Ответ: P_EFMN = 120.