4. Дано: ABCD — прямоугольник; CD = 30. На рисунке E, F, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно; ∠FCM = 60°. Найти P△EFM.

Поскольку M — середина CD, CM = CD / 2 = 15. Так как F лежит на BC, а BC ⟂ CD, треугольник FCM прямоугольный при C. При ∠FCM = 60°:

1. tan 60° = FM / CM, значит FM = 15√3.
2. В прямоугольнике противоположные стороны равны, а E и F — середины сторон, поэтому EF = AB / 2 = CD / 2 = 15.
3. Аналогично EM = BC / 2. Из cos 60° = CM / FM следует BC / 2 = 15 / 2, то есть EM = 15 / 2.
4. P△EFM = EF + FM + EM = 15 + 15√3 + 15 / 2 = 15(3 + 2√3) / 2.

Ответ: P△EFM = 15(3 + 2√3) / 2.