4) Дано: ABCD — трапеция, AB и CD — её основания, AB ∥ α, AD ∩ α = E, CB ∩ α = F. Доказать: DCFE — трапеция.

Так как ABCD — трапеция, её основания параллельны: AB ∥ CD.

По условию AB ∥ α. Если прямая параллельна плоскости, то любая параллельная ей прямая также параллельна этой плоскости. Следовательно, CD ∥ α.

Прямые AD и CB пересекают плоскость α в точках E и F, значит, точки E и F принадлежат α. Поэтому EF лежит в плоскости α.

Плоскость β, содержащая параллельные прямые CD и EF, пересекает плоскость α по прямой EF. Поскольку CD ∥ α и CD лежит в β, прямая CD параллельна линии пересечения плоскостей β и α, то есть CD ∥ EF.

В четырёхугольнике DCFE противоположные стороны DC и EF параллельны. Следовательно, DCFE — трапеция.

Что и требовалось доказать.