4) Дано: ABCD — трапеция, AB и CD — основания, AB ∥ α, AD ∩ α = E, CB ∩ α = F. Доказать: DCFE — трапеция.

Обозначим через β плоскость трапеции ABCD. Плоскости α и β пересекаются по прямой EF, поскольку E и F — две их общие точки.

1. Так как AB лежит в плоскости β и параллельна плоскости α, то AB параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Следовательно, AB ∥ EF.
2. В трапеции ABCD основания параллельны, поэтому AB ∥ CD.
3. Из AB ∥ EF и AB ∥ CD следует, что EF ∥ CD. Параллельные прямые EF и CD задают плоскость, содержащую точки D, C, F и E.

Значит, четырёхугольник DCFE имеет пару параллельных противоположных сторон CD и EF, поэтому DCFE — трапеция.