4. * Дано: \(\angle\) DBC = 90°, \(\angle\) BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.

Решение:

В треугольнике BDC: \( \angle DBC = 90° \), \( \angle BDC = 60° \). Следовательно, \( \angle BCD = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Используя определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике BDC:

• \( \tan(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} \)


• \( \tan(60°) = \frac{BC}{4} \)


• \( \frac{BC}{4} =
  \sqrt{3} \)


• \( BC = 4 \sqrt{3} \) см.

Так как \( 1.732 \approx \sqrt{3} \), то \( BC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928 \) см.

а) Ответ: Длина отрезка BC заключена между целыми числами 6 и 7.

Чтобы найти длину медианы BE, нам нужно знать координаты вершин или другие длины сторон. Из рисунка 5.92 видно, что BE является медианой треугольника BDC, проведённой к стороне DC. Однако, длина стороны DC не дана, и её нельзя однозначно определить только из углов и длины BD. Если предположить, что E - середина DC, то в прямоугольном треугольнике BDC, по теореме Пифагора:

\( DC^2 = BD^2 + BC^2 \)

\( DC^2 = 4^2 + (4
\sqrt{3})^2 \)

\( DC^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64 \)

\( DC =
\sqrt{64} = 8 \) см.

Так как E - середина DC, то \( DE = EC = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем BD = 4 см, DE = 4 см, и \( \angle BDE = 60° \).

По теореме косинусов для треугольника BDE:

\( BE^2 = BD^2 + DE^2 - 2 \cdot BD \cdot DE \cdot \cos(\angle BDE) \)

\( BE^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(60°) \)

\( BE^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BE^2 = 32 - 16 = 16 \)

\( BE =
\sqrt{16} = 4 \) см.

б) Ответ: Длина медианы BE равна 4 см.