4. * Дано: \( \angle EPM = 90^{\circ} \), \( \angle MEP = 30^{\circ} \), \( ME = 10 \) см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Нахождение длины отрезка ЕР

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle EPM \).

Мы знаем, что \( ME = 10 \) см — это гипотенуза.

\( \angle MEP = 30^{\circ} \).

Катет \( EP \) лежит напротив угла \( \angle EMP \).

Найдем \( \angle EMP \>:

\( \angle EMP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Катет \( EP \) лежит напротив угла \( \angle EMP = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Угол \( \angle MEP = 30^{\circ} \). Катет \( PM \) лежит напротив этого угла.

\( PM = \frac{1}{2} ME \)

\( PM = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).

Теперь найдем катет \( EP \) по теореме Пифагора:

\( ME^2 = EP^2 + PM^2 \)

\( 10^2 = EP^2 + 5^2 \)

\( 100 = EP^2 + 25 \)

\( EP^2 = 100 - 25 \)

\( EP^2 = 75 \)

\( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \text{ см} \).

Приближенное значение \( \sqrt{3} \) равно \( 1.732 \).

\( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \text{ см} \).

Длина отрезка \( EP \) заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Нахождение длины медианы PD

Медиана \( PD \) соединяет вершину \( P \) с серединой противоположной стороны \( ME \).

Пусть \( D \) — середина отрезка \( ME \).

Тогда \( MD = DE = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).

Рассмотрим \( \triangle EPM \). Это прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Однако, \( PD \) не является медианой, проведенной к гипотенузе \( ME \) в \( \triangle EPM \). \( PD \) является медианой в \( \triangle EPM \), проведенной из вершины \( P \) к стороне \( ME \).

Точка \( D \) — середина \( ME \).

Чтобы найти длину медианы \( PD \), мы можем использовать теорему Стюарта или координаты.

Использование координат:

Поместим точку \( P \) в начало координат \( (0, 0) \).

Так как \( \angle EPM = 90^{\circ} \), ось \( PX \) совпадет с \( PM \), а ось \( PY \) — с \( PE \).

Тогда координаты вершин:

• \( P = (0, 0) \)
• \( M = (5, 0) \) (так как \( PM = 5 \) см)
• \( E = (0, 5\sqrt{3}) \) (так как \( PE = 5\sqrt{3} \) см)

Точка \( D \) — середина \( ME \).

\( D = \left( \frac{0+5}{2}, \frac{0+5\sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2} \right) \).

Найдем длину медианы \( PD \) по формуле расстояния между двумя точками:

\( PD = \sqrt{\left( \frac{5}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2} \)

\( PD = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2} \)

\( PD = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}} \)

\( PD = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}} \)

\( PD = \sqrt{\frac{100}{4}} \)

\( PD = \sqrt{25} \)

\( PD = 5 \text{ см} \).

Ответ: а) Длина отрезка ЕР заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.