4. Дано: $$\angle KDF = 48^{\circ}$$, $$BD = 5$$ см, $$AK = 11$$ см, $$DE = 6$$ см, $$DK$$ на 1 см меньше $$DA$$, $$\angle CDA$$, $$\angle CDK = 24^{\circ}$$, прямые $$CF$$ и $$AK$$ пересекаются в точке $$D$$. Найдите на рисунке равные треугольники и докажите, что они равны. Доказательство:

Анализ данных:

• $$\angle KDF = 48^{\circ}$$
• $$BD = 5$$ см
• $$AK = 11$$ см
• $$DE = 6$$ см
• $$DK = DA - 1$$ см
• $$\angle CDA$$
• $$\angle CDK = 24^{\circ}$$
• $$CF$$ и $$AK$$ пересекаются в точке $$D$$ (то есть $$C, D, F$$ лежат на одной прямой, и $$A, D, K$$ лежат на одной прямой).

Вычисления:

Из условия $$\angle CDK = 24^{\circ}$$ и $$\angle KDF = 48^{\circ}$$ следует, что $$\angle CDF = \angle CDK + \angle KDF = 24^{\circ} + 48^{\circ} = 72^{\circ}$$.

Углы $$\angle CDA$$ и $$\angle KDF$$ являются вертикальными, поэтому $$\angle CDA = \angle KDF = 48^{\circ}$$.

Углы $$\angle CDK$$ и $$\angle ADF$$ также являются вертикальными, поэтому $$\angle ADF = \angle CDK = 24^{\circ}$$.

Из условия $$AK = 11$$ см, $$DE = 6$$ см, $$BD = 5$$ см. Также известно, что $$DK = DA - 1$$ см.

Так как $$A, D, K$$ лежат на одной прямой, то $$AK = AD + DK$$.

Подставим $$DK = DA - 1$$ в уравнение $$AK = AD + DK$$:

$$11 = AD + (AD - 1)$$

$$11 = 2 \times AD - 1$$

$$12 = 2 \times AD$$

$$AD = 6$$ см

Теперь найдем $$DK$$:

$$DK = AD - 1 = 6 - 1 = 5$$ см

Мы имеем:

• $$AD = 6$$ см
• $$DK = 5$$ см
• $$BD = 5$$ см
• $$DE = 6$$ см

Поиск равных треугольников:

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle KDB$$.

• $$AD = 6$$ см, $$DK = 5$$ см, $$BD = 5$$ см.
• $$\angle CDA = 48^{\circ}$$, $$\angle KDB = 48^{\circ}$$ (вертикальные углы).
• $$\angle ADC = 48^{\circ}$$
• $$\angle BDK = 48^{\circ}$$
• $$\angle CDB = ?$$
• $$\angle ADB = ?$$

Рассмотрим $$\triangle ADB$$ и $$\triangle EDC$$.

• $$AD = 6$$ см, $$DE = 6$$ см, значит $$AD = DE$$.
• $$BD = 5$$ см, $$DK = 5$$ см, значит $$BD = DK$$.
• $$\angle ADB = \angle EDC$$ (вертикальные углы).

Таким образом, $$\triangle ADB = \triangle EDC$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Доказательство:

1. $$AD = DE = 6$$ см (по условию и вычислению).

2. $$BD = DK = 5$$ см (по условию и вычислению).

3. $$\angle ADB = \angle EDC$$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $$\triangle ADB = \triangle EDC$$ по первому признаку равенства треугольников.