4) Дано: ДАВС — равносторонний, ОК = 3 см (рис. 8.145). Найти: АВ.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Дано:

• △ABC — равносторонний
• OK = 3 см
• OK ⊥ AC (из рисунка 8.145, где OK ⊥ AC)

Найти: AB

Решение:

1. Свойства равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны (AB = BC = AC), и все углы равны 60°.
2. Свойства медианы, высоты и биссектрисы: В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают. Отрезок OK ⊥ AC, и K — середина AC (так как OK — это радиус, перпендикулярный хорде AC, и он делит ее пополам). Значит, OK является высотой, проведенной из вершины B к стороне AC.
3. Связь радиуса вписанной окружности и высоты: В равностороннем треугольнике центр вписанной (и описанной) окружности O является точкой пересечения медиан (и высот, биссектрис). Радиус вписанной окружности (OK) равен 1/3 высоты треугольника.
4. Находим высоту: Так как OK = 3 см, то высота BH (где H — середина AC, то есть H=K) равна: BH = 3 × OK = 3 × 3 см = 9 см.
5. Находим сторону треугольника: В равностороннем треугольнике высота связана со стороной формулой: h =  √3 / 2, где h — высота, а 'a' — сторона треугольника.
6. Подставляем известные значения: 9 =  √3 / 2.
7. Выражаем сторону 'a': a = (9 × 2) / √3 = 18 / √3.
8. Рационализируем знаменатель: Умножим числитель и знаменатель на √3: a = (18 × √3) / (√3 × √3) = 18√3 / 3 = 6√3 см.

Ответ: AB = 6√3 см