4*. Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка BC? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

Давай разберемся с этой задачей по шагам. Она про треугольник, так что будем использовать геометрию!

а) Находим длину отрезка BC

У нас есть прямоугольный треугольник BDC, потому что угол DBC равен 90 градусов. Сторона BD — это один из катетов, а BC — другой катет.

Мы знаем, что угол BDC равен 60 градусов. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180 градусов. Значит, угол BCD будет:

\[
\angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}
\]

Теперь вспомним свойства прямоугольного треугольника с углами 30, 60, 90 градусов:

• Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.


• Катет, лежащий напротив угла в 60 градусов, равен катету, лежащему напротив угла в 30 градусов, умноженному на $$\sqrt{3}$$.

В нашем треугольнике BDC:

• Угол BCD = 30 градусов.


• Угол BDC = 60 градусов.


• Угол DBC = 90 градусов.

Сторона BD лежит напротив угла BCD (30 градусов), а сторона BC лежит напротив угла BDC (60 градусов). Гипотенуза — это CD (напротив прямого угла).

Поскольку BD лежит напротив угла 30 градусов, то гипотенуза CD в два раза больше BD:

\[
CD = 2 \times BD = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}
\]

Теперь найдем длину BC. Она лежит напротив угла 60 градусов. Мы можем использовать теорему Пифагора или тригонометрию.

Через тригонометрию (тангенс):

\[
\tan(\angle BDC) = \frac{\text{катет, противолежащий}}{\text{катет, прилежащий}}
\]

\[
\tan(60^{\circ}) = \frac{BC}{BD}
\]

Мы знаем, что $$\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$$.

\[
\sqrt{3} = \frac{BC}{4 \text{ см}}
\]

Отсюда:

\[
BC = 4 \times \sqrt{3} \text{ см}
\]

Приближенное значение $$\sqrt{3}$$ равно 1.732.

\[
BC \approx 4 \times 1.732 \text{ см} = 6.928 \text{ см}
\]

Между какими целыми числами заключена длина отрезка BC?

Число 6.928 находится между целыми числами 6 и 7.

Ответ а): Длина отрезка BC заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Найдите длину медианы PD

PD — это медиана. Медиана в треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В нашем случае, PD — это медиана, проведенная из вершины D к стороне BC. Значит, точка P — это середина отрезка BC.

Мы уже нашли, что BC = $$4\sqrt{3}$$ см. Значит, длина отрезка BP (или PC) будет:

\[
BP = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см}
\]

Теперь у нас есть треугольник DBP. Мы знаем:

• BD = 4 см


• BP = $$2\sqrt{3}$$ см


• Угол DBC = 90 градусов (это угол между BD и BC, а значит, и между BD и BP).

Треугольник DBP — прямоугольный (с прямым углом DBP).

Мы можем найти длину медианы PD (гипотенузу в треугольнике DBP) с помощью теоремы Пифагора:

\[
PD^2 = BD^2 + BP^2
\]

\[
PD^2 = (4 \text{ см})^2 + (2\sqrt{3} \text{ см})^2
\]

Считаем квадраты:

• $$4^2 = 16$$


• $$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$$

Подставляем обратно в формулу:

\[
PD^2 = 16 + 12 = 28
\]

Теперь находим PD, взяв квадратный корень из 28:

\[
PD = \sqrt{28} \text{ см}
\]

Можно упростить $$\sqrt{28}$$, так как $$28 = 4 \times 7$$:

\[
PD = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \text{ см}
\]

Ответ б): Длина медианы PD равна $$2\sqrt{7}$$ см.