4. * Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка BC? б) Найдите длину медианы ВЕ.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Нахождение длины отрезка BC:

Рассмотрим прямоугольный треугольник DBC (\( \angle DBC = 90° \)).

У нас есть катет BD = 4 см и противолежащий угол \( \angle BCD \).
Найдем \( \angle BCD \): \( \angle BCD = 180° - 90° - 60° = 30° \).
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
BC — катет, противолежащий углу \( \angle BDC = 60° \).
BD — катет, противолежащий углу \( \angle BCD = 30° \).
Следовательно, BD = \( \frac{1}{2} \) * CD.
CD = 2 * BD = 2 * 4 см = 8 см.
Теперь найдем BC, используя теорему Пифагора или тригонометрические соотношения.
Используем тангенс угла BDC:
\( \tan(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} \)
\( \tan(60°) = \frac{BC}{4} \)
\( BC = 4 \cdot \tan(60°) \)
\( BC = 4 \cdot \sqrt{3} \)
\( BC \approx 4 \cdot 1.732 \)
\( BC \approx 6.928 \) см.
Ответ: Длина отрезка BC заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Нахождение длины медианы ВЕ:

Медиана ВЕ в треугольнике DBC — это отрезок, соединяющий вершину B с серединой противоположной стороны DC. Следовательно, E — середина DC.

DC = 8 см (найдено в пункте а).

DE = EC = \( \frac{1}{2} \) * DC = \( \frac{1}{2} \) * 8 см = 4 см.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем:

Треугольник BDE является равнобедренным (BD = DE = 4 см).

Найдем угол ∠DBE:

\( \angle DBE = 180° - \angle BDE - \angle BED \). Нам неизвестен ∠BED.

В равнобедренном треугольнике BDE, углы при основании DE равны:

\( \angle DBE = \angle BED \)

\( \angle BDE = 60° \)

Сумма углов в треугольнике BDE:

\( \angle BDE + \angle DBE + \angle BED = 180° \)

\( 60° + \angle DBE + \angle DBE = 180° \)

\( 60° + 2\angle DBE = 180° \)

\( 2\angle DBE = 120° \)

\( \angle DBE = 60° \)

Так как \( \angle BDE = \angle DBE = \angle BED = 60° \), треугольник BDE является равносторонним.

Следовательно, BE = BD = DE = 4 см.

Ответ: Длина медианы ВЕ равна 4 см.