4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Нахождение длины отрезка EP

1. Дано: \( \Delta MEP \) — прямоугольный, \( \angle EPM = 90^{\circ} \), \( \angle MEP = 30^{\circ} \), \( ME = 10 \) см.
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.
3. Катет \( EP \) лежит против угла \( \angle EMP \).
4. Найдем \( \angle EMP \): \( \angle EMP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
5. Катет \( MP \) лежит против угла \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
6. Следовательно, \( MP = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.
7. Теперь найдем катет \( EP \) по теореме Пифагора: \( ME^2 = MP^2 + EP^2 \).
8. \( 10^2 = 5^2 + EP^2 \).
9. \( 100 = 25 + EP^2 \).
10. \( EP^2 = 100 - 25 = 75 \).
11. \( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.
12. Приблизительное значение \( \sqrt{3} \) равно \( 1.732 \).
13. \( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.
14. Число \( 8.66 \) заключено между целыми числами \( 8 \) и \( 9 \).

б) Нахождение длины медианы PD

1. Медиана \( PD \) проведена из вершины \( P \) к стороне \( ME \).
2. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. Гипотенуза в \( \Delta MEP \) — это сторона \( ME \), так как она лежит против прямого угла \( \angle EPM \).
4. Длина гипотенузы \( ME = 10 \) см.
5. Следовательно, длина медианы \( PD = \frac{1}{2} ME \).
6. \( PD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.

Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.