4. *Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Нахождение длины отрезка EP

Дано:

• Треугольник EPM — прямоугольный.
• \( \angle EPM = 90^{\circ} \).
• \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
• Гипотенуза \( ME = 10 \) см.

Найти: Длину катета EP.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.
2. Катет PM лежит против угла \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
3. Следовательно, \( PM = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \times 10 \) см \( = 5 \) см.
4. Теперь найдём катет EP, используя теорему Пифагора: \( EP^2 + PM^2 = ME^2 \).
5. \( EP^2 + 5^2 = 10^2 \).
6. \( EP^2 + 25 = 100 \).
7. \( EP^2 = 100 - 25 = 75 \).
8. \( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) см.
9. Приблизительное значение \( \sqrt{3} \) равно 1.732.
10. \( EP \approx 5 \times 1.732 = 8.66 \) см.
11. Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Нахождение длины медианы PD

Дано:

• Треугольник EPM — прямоугольный.
• \( \angle EPM = 90^{\circ} \).
• Катет \( PM = 5 \) см.
• Катет \( EP = 5\sqrt{3} \) см.
• PD — медиана.

Найти: Длину медианы PD.

Решение:

1. Медиана PD соединяет вершину P с серединой противоположной стороны EM.
2. Пусть точка D — середина гипотенузы ME.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. Следовательно, \( PD = \frac{1}{2} ME \).
5. \( PD = \frac{1}{2} \times 10 \) см \( = 5 \) см.

Ответ:

а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Длина медианы PD равна 5 см.