4*. Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD. Вариант 2

Решение:

а) Найдем длину отрезка EP:

В прямоугольном треугольнике MEP (\(\angle EPM = 90°\)) катет EP лежит против угла \(\angle MEP = 30°\). Известно, что катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза ME = 10 см.

Следовательно, \( EP = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).

Длина отрезка EP равна 5 см. Это целое число, поэтому оно заключено между 4 и 6.

Ответ: Длина отрезка EP заключена между целыми числами 4 и 6.

б) Найдем длину медианы PD:

Нам дано, что \(\angle MEP = 30°\), \(\angle EPM = 90°\), \( ME = 10 \text{ см} \), \( EP = 5 \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике MEP найдем длину PM по теореме Пифагора:

\[ PM^2 = ME^2 - EP^2 \]

\[ PM^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \]

\[ PM = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

В задаче не указано, к какому треугольнику относится медиана PD. Предполагая, что рисунок 5.90 относится к задаче 4, и PD является медианой в треугольнике MEP, проведенной из вершины P к стороне ME.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно, \( PD = \frac{1}{2} ME = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).

Ответ: Длина медианы PD равна 5 см.