4. Дано: ∠KDF = 48°, BD = 5 см, AK = 11 см, DE = 6 см, DK на 1 см меньше DA, DB — биссектриса ∠CDA, ∠EDK = 24°, прямые CF и AK пересекаются в точке D. Найдите на рисунке равные треугольники и докажите, что они равны.

Так как прямые CF и AK пересекаются в D, углы ∠CDA и ∠KDF — вертикальные, поэтому ∠CDA = 48°.

DB — биссектриса ∠CDA, значит, ∠BDA = 48° : 2 = 24°. По условию ∠EDK = 24°, следовательно, ∠BDA = ∠EDK.

Обозначим DA = x см. Тогда DK = x − 1 см. Поскольку A, D, K лежат на одной прямой и D находится между A и K, AK = DA + DK. Получаем x + (x − 1) = 11, откуда x = 6. Значит, DA = 6 см и DK = 5 см.

Теперь BD = DK = 5 см, DA = DE = 6 см, а углы между этими сторонами равны: ∠BDA = ∠KDE = 24° (∠KDE и ∠EDK — один и тот же угол). Поэтому по первому признаку равенства треугольников △BDA = △KDE.

Ответ: △BDA = △KDE.