4. Дано: призма ABCD–A₁B₁C₁D₁ — правильная. Найти периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точки M, K и D. На рисунке AA₁ = √14, AD = √8; M — середина A₁D₁, K — середина D₁C₁.

Сечение плоскостью через M, K и D — четырёхугольник D–M–K–C. Действительно, на верхнем основании MK параллелен AD, а продолжение плоскости пересекает боковую грань DCC₁D₁ по отрезку DC.

Обозначим сторону квадратного основания через a = AD = √8, высоту призмы через h = AA₁ = √14. Так как M и K — середины соответствующих рёбер, MK = a/2 = √8/2.

MD — диагональ прямоугольного треугольника с катетами h и a/2:

MD = √(h² + (a/2)²) = √(14 + 2) = 4.

Аналогично KC = 4, а DC = √8. Поэтому периметр сечения равен 4 + √8/2 + 4 + √8 = 8 + 3√8/2 = 8 + 3√2.

Ответ: 8 + 3√2.