4. Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены точки, расстояние от которых до точки A: а) вдвое больше, чем до точки B; б) втрое меньше, чем до точки B?

Обозначим расстояние между A и B через \(d=AB\), а координату точки на прямой — через \(x\), считая координату A равной 0, а B — равной \(d\).

а) Требуется, чтобы расстояние до A было вдвое больше расстояния до B: \(|x|=2|x-d|\). Решения: \(x=\frac{2d}{3}\) и \(x=2d\). Значит, искомые точки лежат между A и B, на расстоянии \(\frac{2}{3}AB\) от A, и за точкой B, на расстоянии \(AB\) от B.

б) Требуется, чтобы расстояние до A было втрое меньше расстояния до B: \(|x|=\frac{1}{3}|x-d|\). Решения: \(x=\frac{d}{4}\) и \(x=-\frac{d}{2}\). Значит, одна точка лежит между A и B, на расстоянии \(\frac{1}{4}AB\) от A; другая — за точкой A, на расстоянии \(\frac{1}{2}AB\) от A.

Ответ: а) две точки: на расстоянии \(\frac{2}{3}AB\) от A между A и B и на расстоянии \(AB\) за B; б) две точки: на расстоянии \(\frac{1}{4}AB\) от A между A и B и на расстоянии \(\frac{1}{2}AB\) за A.