4. Даны три отрезка: AB, AC и BC. а) С помощью циркуля и линейки (без делений) постройте по трём сторонам треугольник ABC. (Поле дано справа от отрезков. Реально построить и кратко пояснить этапы построения.) б) Если положение отрезка AC уже зафиксировано, убедитесь, что у этой задачи два решения. Проводя отрезок между двумя возможными положениями точки B (например, B и B′), убедитесь, что треугольники ΔABC и ΔAB′C равны по I признаку.

а) Построение.

1. Проведите отрезок AC, равный данному отрезку AC.
2. Проведите окружность с центром A и радиусом, равным данному отрезку AB.
3. Проведите окружность с центром C и радиусом, равным данному отрезку BC.
4. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой B и соедините её с A и C. Получится треугольник ABC.

Окружности пересекаются в двух точках, расположенных по разные стороны от AC. Каждая из них даёт вершину треугольника с заданными длинами сторон.

б) Два решения. При закреплённом AC две точки пересечения построенных окружностей дают две возможные вершины B и B′. Они симметричны относительно AC, поэтому AB = AB′ и CB = CB′; сторона AC общая. Следовательно, треугольники ABC и AB′C равны по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): равны AB и AB′, AC — общая, а углы BAC и B′AC равны как симметричные относительно AC.