4. Даны вершины треугольника A (3; 7; −4), B (5; −3; 2), C (1; 3; −10). Найдите его площадь.

Найдём векторы сторон, выходящих из точки A:

\(\overrightarrow{AB}=(2;-10;6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2;-4;-6)\).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(84;0;-28)\).

\(S=\frac12\sqrt{84^2+0^2+(-28)^2}=\frac12\sqrt{7840}=14\sqrt{10}\).

Ответ: \(14\sqrt{10}\).