4. Дайте ответ: a) log₃ 1/27; б) log√2 8;

Решение:

а) \( \log_{3} \frac{1}{27} \)

Чтобы найти значение логарифма, нужно определить, в какую степень нужно возвести основание (3), чтобы получить число под логарифмом (\( \frac{1}{27} \)).

Так как \( 27 = 3^3 \), то \( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} \).

Следовательно, \( \log_{3} \frac{1}{27} = -3 \).

б) \( \log_{\sqrt{2}} 8 \)

Пусть \( y = \log_{\sqrt{2}} 8 \). По определению логарифма, это означает, что \( (\sqrt{2})^y = 8 \).

Представим оба числа в виде степени с основанием 2:

\( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)

\( 8 = 2^3 \)

Подставим это в уравнение: \( (2^{\frac{1}{2}})^y = 2^3 \)

\( 2^{\frac{1}{2}y} = 2^3 \)

Приравниваем показатели степеней: \( \frac{1}{2}y = 3 \)

Умножаем обе части на 2: \( y = 6 \).

Следовательно, \( \log_{\sqrt{2}} 8 = 6 \).

Ответ: а) -3; б) 6.