4. Диагональ правильной четырехугольной призмы а и образует с плоскостью боковой грани угол «а». Найти объём и боковую поверхность описанного цилиндра. (Ответ: а = 4, α = 30°)

Решение:

Задача состоит в том, чтобы найти объём и боковую поверхность цилиндра, описанного вокруг правильной четырехугольной призмы.

Дано:

• Призма правильная четырехугольная.
• Диагональ призмы образует угол \( \alpha = 30^{\circ} \) с плоскостью боковой грани.
• Сторона основания призмы \( a = 4 \).

Найти:

• Объём цилиндра \( V \).
• Боковую поверхность цилиндра \( S_{бок} \).

Ход решения:

1. Найдём высоту призмы (и цилиндра) \( H \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы \( d \), стороной основания \( a \) и высотой призмы \( H \). Диагональ основания \( d_{осн} = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).
3. Диагональ призмы \( d = \sqrt{a^2 + H^2} \).
4. Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. Рассмотрим боковую грань. Диагональ призмы, высота призмы и диагональ боковой грани образуют прямоугольный треугольник.
5. Пусть \( d_{бок} \) - диагональ боковой грани. Тогда \( d_{бок} = \sqrt{a^2 + H^2} \).
6. Угол \( \alpha \) между диагональю призмы \( d \) и боковой гранью. Проекцией диагонали \( d \) на боковую грань является диагональ этой грани \( d_{бок} \).
7. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю призмы \( d \), диагональю боковой грани \( d_{бок} \) и отрезком, соединяющим вершину диагонали призмы с серединой ребра основания (этот отрезок равен \( a \) ), мы можем выразить \( H \) через \( \alpha \).
8. В этом треугольнике \( \tan \alpha = \frac{H}{a} \).
9. \( H = a \tan \alpha = 4 \tan 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \).
10. Найдём радиус цилиндра \( R \).
11. Цилиндр описан вокруг призмы, значит, основание цилиндра является окружностью, описанной вокруг квадрата.
12. Диаметр основания цилиндра равен диагонали квадрата \( d_{осн} = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).
13. Радиус основания цилиндра \( R = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).
14. Вычислим объём цилиндра \( V \).
15. Формула объёма цилиндра: \( V = \pi R^2 H \).
16. \( V = \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \pi (8) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}\pi \).
17. Вычислим боковую поверхность цилиндра \( S_{бок} \).
18. Формула боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi R H \).
19. \( S_{бок} = 2 \pi (2\sqrt{2}) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{6}}{3}\pi \).

Ответ: Объём цилиндра \( V = \frac{32\sqrt{3}}{3}\pi \), боковая поверхность \( S_{бок} = \frac{16\sqrt{6}}{3}\pi \).