4. Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении 1:2. Найдите диагональ прямоугольника, если сумма его обеих диагоналей и меньших сторон равна 24.

Пусть меньший угол, на который диагональ делит прямой угол прямоугольника, равен \(x\). Тогда второй равен \(2x\), поэтому \(x+2x=90°\), откуда углы равны 30° и 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами и диагональю. Диагональ — гипотенуза, а меньшая сторона прямоугольника лежит напротив угла 30°. Поэтому эта сторона равна половине диагонали.

Обозначим диагональ через \(d\). Диагонали прямоугольника равны, как и его меньшие стороны, поэтому условие даёт \(2d+2\cdot\frac{d}{2}=24\). Тогда \(3d=24\), откуда \(d=8\).

Ответ: 8.