№4. Диагонали ВЕ и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке Р, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFFE₁ пересекаются в точке Q. а) Докажите, что прямая QP параллельна плоскости СВ₁Е₁. б) Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью СВ₁Е₁, если сторона основания

Решение:

а) Доказательство параллельности прямой QP плоскости СВ₁Е₁:

В правильной шестиугольной призме основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ являются правильными шестиугольниками.

Диагонали правильного шестиугольника пересекаются в его центре. Точка P является центром основания ABCDEF.

Диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q. Так как EFF₁E₁ — прямоугольник (или квадрат, если призма правильная и грань квадратом является), то Q является центром этой грани.

Рассмотрим векторы:

• Вектор \( \vec{QP} \) направлен из центра основания в центр боковой грани.
• Плоскость СВ₁Е₁ определяется векторами, например \( \vec{CB_1} \) и \( \vec{CE_1} \).

Чтобы доказать, что \( QP \) параллельна плоскости \( CB_1E_1 \), нужно показать, что вектор \( \vec{QP} \) можно представить как линейную комбинацию векторов, лежащих в плоскости \( CB_1E_1 \), или что \( \vec{QP} \) перпендикулярен нормальному вектору плоскости \( CB_1E_1 \).

Сделаем следующее: введём систему координат.

Пусть центр основания ABCDEF находится в начале координат \( O = (0,0,0) \). Пусть высота призмы равна \( h \). Тогда:

• \( P = (0,0,0) \)
• \( Q = (0,0,h) \)
• \( \vec{QP} = (0,0,-h) \)

Найдем координаты точек C, B₁, E₁:

Пусть сторона основания равна \( a \). Координаты вершин основания:

• \( A = (a, 0, 0) \)
• \( B = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0) \)
• \( C = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0) \)
• \( D = (-a, 0, 0) \)
• \( E = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) \)
• \( F = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) \)

Координаты вершин верхнего основания:

• \( A_1 = (a, 0, h) \)
• \( B_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, h) \)
• \( C_1 = (-a/2, a\sqrt{3}/2, h) \)
• \( D_1 = (-a, 0, h) \)
• \( E_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, h) \)
• \( F_1 = (a/2, -a\sqrt{3}/2, h) \)

Теперь координаты точек плоскости \( CB_1E_1 \):

• \( C = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0) \)
• \( B_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, h) \)
• \( E_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, h) \)

Векторы в плоскости:

• \( \vec{CB_1} = B_1 - C = (a/2 - (-a/2), a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, h - 0) = (a, 0, h) \)
• \( \vec{CE_1} = E_1 - C = (-a/2 - (-a/2), -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, h - 0) = (0, -a\sqrt{3}, h) \)

Нормальный вектор плоскости \( n = \vec{CB_1} \times \vec{CE_1} \):

\[ n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix} = i(0 - (-a\sqrt{3}h)) - j(ah - 0) + k(-a^2\sqrt{3} - 0) = (a\sqrt{3}h, -ah, -a^2\sqrt{3}) \]

Теперь проверим, перпендикулярен ли вектор \( \vec{QP} = (0,0,-h) \) вектору \( n \). Их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[ \vec{QP} \cdot n = (0)(a\sqrt{3}h) + (0)(-ah) + (-h)(-a^2\sqrt{3}) = 0 + 0 + a^2h\sqrt{3} \]

Это не равно нулю, значит, мы выбрали неверные векторы для плоскости или вектор \( QP \) не параллелен плоскости.

Проверим условие задачи: диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q. Это верно. Точка P - центр основания. Точка Q - центр грани EFF₁E₁.

Пересмотрим координаты с учётом того, что P - центр основания.

Пусть центр нижнего основания (точка P) будет \( (0,0,0) \). Высота призмы \( h \). Тогда:

• \( P = (0,0,0) \)
• \( Q \) — центр грани \( EFF_1E_1 \). Координаты \( E = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( F = (\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \), \( F_1 = (\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \). Центр \( Q \) — середина диагонали \( EF_1 \) или \( FE_1 \): \( Q = (\frac{-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{2}, \frac{-\frac{a3}{2}-\frac{a3}{2}}{2}, \frac{0+h}{2}) = (0, -\frac{a3}{2}, \frac{h}{2}) \).

Тогда \( \vec{QP} = P - Q = (0 - 0, 0 - (-\frac{a3}{2}), 0 - \frac{h}{2}) = (0, \frac{a3}{2}, -\frac{h}{2}) \).

Теперь точки плоскости \( CB_1E_1 \):

• \( C = (-\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, 0) \)
• \( B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, h) \)
• \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \)

Векторы в плоскости:

• \( \vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), \frac{a3}{2} - \frac{a3}{2}, h - 0) = (a, 0, h) \)
• \( \vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), -\frac{a3}{2} - \frac{a3}{2}, h - 0) = (0, -a3, h) \)

Нормальный вектор плоскости \( n = \vec{CB_1} \times \vec{CE_1} \):

\[ n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix} = i(0 - (-a\sqrt{3}h)) - j(ah - 0) + k(-a^2\sqrt{3} - 0) = (a\sqrt{3}h, -ah, -a^2\sqrt{3}) \]

Скалярное произведение \( \vec{QP} \cdot n \):

\[ (0)(a\sqrt{3}h) + (\frac{a3}{2})(-ah) + (-\frac{h}{2})(-a^2\sqrt{3}) = 0 - \frac{a^2h3}{2} + \frac{a^2h3}{2} = 0 \]

Так как скалярное произведение векторов \( \vec{QP} \) и \( n \) равно нулю, то вектор \( \vec{QP} \) перпендикулярен нормальному вектору плоскости \( CB_1E_1 \), следовательно, прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.

б) Расстояние между прямой QP и плоскостью СВ₁Е₁:

Поскольку мы доказали, что прямая QP параллельна плоскости СВ₁Е₁, то расстояние между прямой и плоскостью будет постоянным и равным расстоянию от любой точки прямой (например, Q или P) до плоскости.

Возьмём точку P (0,0,0) и плоскость, проходящую через C, B₁, E₁.

Уравнение плоскости, проходящей через точку \( (x_0, y_0, z_0) \) с нормальным вектором \( (A, B, C) \), имеет вид: \( A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \).

Используя нормальный вектор \( n = (a\sqrt{3}h, -ah, -a^2\sqrt{3}) \) и точку \( P = (0,0,0) \), уравнение плоскости:

\[ a\sqrt{3}h(x - 0) - ah(y - 0) - a^2\sqrt{3}(z - 0) = 0 \]

\[ a\sqrt{3}hx - ahy - a^2\sqrt{3}z = 0 \]

Разделим на \( ah \) (при \( a \neq 0, h \neq 0 \)):

\[ \sqrt{3}x - y - a\sqrt{3}z = 0 \]

Расстояние от точки \( (x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Расстояние от точки \( P(0,0,0) \) до плоскости \( \sqrt{3}x - y - a\sqrt{3}z = 0 \) (где \( A = \sqrt{3}, B = -1, C = -a\sqrt{3}, D = 0 \)):

\[ d = \frac{|(\sqrt{3})(0) + (-1)(0) + (-a\sqrt{3})(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-a\sqrt{3})^2}} \]

\[ d = \frac{|0|}{\sqrt{3 + 1 + 3a^2}} = \frac{0}{\sqrt{4 + 3a^2}} = 0 \]

Это означает, что точка P лежит в плоскости, что неверно, так как P - центр нижнего основания, а плоскость содержит точки верхнего основания и одной из точек нижнего основания (C).

Проверим координаты Q снова.

Пусть центр нижнего основания (точка P) будет \( (0,0,0) \). Тогда:

• \( P = (0,0,0) \)
• \( Q \) — центр грани \( EFF_1E_1 \). Точка \( E = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( F = (\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \), \( F_1 = (\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \). \( Q = (0, -\frac{a3}{2}, \frac{h}{2}) \).

Вектор \( \vec{QP} = (0, \frac{a3}{2}, -\frac{h}{2}) \).

Точки плоскости \( CB_1E_1 \):

• \( C = (-\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, 0) \)
• \( B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, h) \)
• \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \)

Уравнение плоскости, проходящей через \( C(-\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, 0) \) с нормальным вектором \( n = (a\sqrt{3}h, -ah, -a^2\sqrt{3}) \):

\[ a\sqrt{3}h(x + \frac{a}{2}) - ah(y - \frac{a3}{2}) - a^2\sqrt{3}(z - 0) = 0 \]

\[ a\sqrt{3}hx + \frac{a^2\sqrt{3}h}{2} - ahy + \frac{a^2\sqrt{3}h}{2} - a^2\sqrt{3}z = 0 \]

\[ a\sqrt{3}hx - ahy - a^2\sqrt{3}z + a^2\sqrt{3}h = 0 \]

Разделим на \( ah \):

\[ \sqrt{3}x - y - a\sqrt{3}z + ah = 0 \]

Расстояние от точки \( Q(0, -\frac{a3}{2}, \frac{h}{2}) \) до плоскости \( \sqrt{3}x - y - a\sqrt{3}z + ah = 0 \):

\[ d = \frac{|(\sqrt{3})(0) - (-\frac{a3}{2}) - a\sqrt{3}(\frac{h}{2}) + ah|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-a\sqrt{3})^2}} \]

\[ d = \frac{|0 + \frac{a3}{2} - \frac{a\sqrt{3}h}{2} + ah|}{\sqrt{3 + 1 + 3a^2}} = \frac{|\frac{a3}{2} - \frac{a\sqrt{3}h}{2} + ah|}{\sqrt{4 + 3a^2}} \]

Это не похоже на ответ, так как в условии не указана высота призмы. Значит, есть другой, более простой геометрический путь.

Альтернативное решение (геометрическое):

а) Доказательство параллельности:

В правильной призме центр основания P и центр соответствующей боковой грани Q лежат на одной вертикальной линии, если рассматривать проекцию.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через E, F, B₁, A₁.

Точка P — центр шестиугольника ABCDEF.

Точка Q — середина отрезка FE₁ (и EF₁).

Рассмотрим треугольник A₁FE₁. P — центр шестиугольника ABCDEF. Q — середина FE₁.

Снова используем координаты, но выбираем их более удачно.

Пусть вершина \( A \) лежит на оси \( Ox \). \( P \) — начало координат \( (0,0,0) \).

\( C = (-\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, 0) \), \( B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a3}{2}, h) \), \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \).

Вектор \( \vec{QP} \). Как найти Q? Q — центр грани EFF₁E₁.

\( E = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( F = (\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, 0) \), \( E_1 = (-\frac{a}{2}, -\frac{a3}{2}, h) \).

Центр грани \( Q = (\frac{-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{2}, \frac{-\frac{a3}{2}-\frac{a3}{2}}{2}, \frac{0+h}{2}) = (0, -\frac{a3}{2}, \frac{h}{2}) \).

\( P = (0,0,0) \). \( \vec{QP} = (0, \frac{a3}{2}, -\frac{h}{2}) \).

Рассмотрим векторы в плоскости \( CB_1E_1 \): \( \vec{CB_1} = (a, 0, h) \), \( \vec{CE_1} = (0, -a3, h) \).

Нормальный вектор \( n = (a\sqrt{3}h, -ah, -a^2\sqrt{3}) \). Вектор \( \vec{QP} = (0, \frac{a3}{2}, -\frac{h}{2}) \).

\( \vec{QP} \cdot n = 0 \cdot a\sqrt{3}h + \frac{a3}{2} (-ah) + (-\frac{h}{2}) (-a^2\sqrt{3}) = -\frac{a^2h3}{2} + \frac{a^2h3}{2} = 0 \).

Доказано, что \( QP \parallel \text{плоскости } CB_1E_1 \).

б) Расстояние между прямой QP и плоскостью СВ₁Е₁:

Так как \( QP \) параллельна плоскости \( CB_1E_1 \), расстояние между ними равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости. Выберем точку \( P(0,0,0) \).

Уравнение плоскости \( CB_1E_1 \) мы нашли ранее: \( a\sqrt{3}hx - ahy - a^2\sqrt{3}z + a^2\sqrt{3}h = 0 \). Разделим на \( ah \): \( \sqrt{3}x - y - a\sqrt{3}z + a = 0 \) (ошибка была в предыдущем расчёте, \( a^2\sqrt{3}h \) вместо \( ah \)).

Уравнение плоскости: \( a\sqrt{3}h(x + \frac{a}{2}) - ah(y - \frac{a3}{2}) - a^2\sqrt{3}(z - 0) = 0 \)

\[ a\sqrt{3}hx + \frac{a^2\sqrt{3}h}{2} - ahy + \frac{a^2\sqrt{3}h}{2} - a^2\sqrt{3}z = 0 \]

\[ a\sqrt{3}hx - ahy - a^2\sqrt{3}z + a^2\sqrt{3}h = 0 \]

Разделим на \( a\sqrt{3} \):

\[ hx - \frac{ah}{\sqrt{3}}y - az + ah = 0 \]

Нормальный вектор \( n' = (h, -\frac{ah}{\sqrt{3}}, -a) \).

Расстояние от \( P(0,0,0) \) до плоскости \( hx - \frac{ah}{\sqrt{3}}y - az + ah = 0 \):

\[ d = \frac{|h(0) - \frac{ah}{\sqrt{3}}(0) - a(0) + ah|}{\sqrt{h^2 + (-\frac{ah}{\sqrt{3}})^2 + (-a)^2}} \]

\[ d = \frac{|ah|}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2h^2}{3} + a^2}} \]

Это тоже зависит от \( h \).

Попробуем другой подход:

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через Q. Эта плоскость будет на высоте \( \frac{h}{2} \).

В правильной призме, центр верхнего основания \( O_1 \) и центр нижнего основания \( O \) (в нашем случае \( P \)) находятся на одной вертикальной линии. Проекция \( Q \) на основание будет центром грани \( EFP \).

Вектор \( \vec{QP} \) имеет длину \( \frac{h}{2} \) (по оси Z) и \( \frac{a3}{2} \) (по оси Y) в нашей системе координат.

Повторим задачу, взяв сторону основания как 2, и высоту как 2.

\( a=2, h=2 \).

\( P = (0,0,0) \).

\( Q = (0, -3, 1) \).

\( \vec{QP} = (0, 3, -1) \).

\( C = (-1, 3, 0) \).

\( B_1 = (1, 3, 2) \).

\( E_1 = (-1, -3, 2) \).

\( \vec{CB_1} = (2, 0, 2) \).

\( \vec{CE_1} = (0, -23, 2) \).

\( n = \vec{CB_1} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & -23 & 2 \end{vmatrix} = i(0 - (-43)) - j(4 - 0) + k(-43 - 0) = (43, -4, -43) \).

\( \vec{QP} \cdot n = (0)(43) + (3)(-4) + (-1)(-43) = 0 - 43 + 43 = 0 \). Параллельность доказана.

Уравнение плоскости через \( C(-1, 3, 0) \) с нормальным вектором \( n = (43, -4, -43) \) (можно взять \( n' = (3, -1, -3) \) разделив на 4):

\[ 3(x - (-1)) - 1(y - 3) - 3(z - 0) = 0 \]

\[ 3(x+1) - y + 3 - 3z = 0 \]

\[ 3x + 3 - y + 3 - 3z = 0 \]

\[ 3x - y - 3z + 23 = 0 \]

Расстояние от \( P(0,0,0) \) до этой плоскости:

\[ d = \frac{|3(0) - 0 - 3(0) + 23|}{\sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \frac{|23|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} = \frac{23}{\sqrt{7}} = \frac{221}{7} \]

Расстояние от \( Q(0, -3, 1) \) до этой плоскости:

\[ d = \frac{|3(0) - (-3) - 3(1) + 23|}{\sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \frac{|3 - 3 + 23|}{\sqrt{7}} = \frac{|23|}{\sqrt{7}} = \frac{221}{7} \]

В задании указано, что сторона основания равна 2. Следовательно, \( a=2 \). Высота \( h \) не дана, но в условии есть \( \frac{a3}{2} \), что может указывать на связь между \( a \) и \( h \) или на то, что \( h \) может быть любым.

Если в задании не дана высота, то ответ, скорее всего, не должен от нее зависеть. Это возможно, если \( \frac{h}{2} \) отменится.

Проверим условие: