4) $\displaystyle \int \dfrac{\sin\alpha\,d\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}$

Question

$Фото задания: 4) $\displaystyle \int \dfrac{\sin\alpha\,d\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}$$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы:

$\sin\alpha=\dfrac{\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)}{\sqrt2}$,

$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt2\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Удобнее представить результат непосредственно через $\sin\alpha+\cos\alpha$. Так как

$\dfrac{d}{d\alpha}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\cos\alpha-\sin\alpha$,

после преобразования интеграла получаем:

\[\int \dfrac{\sin\alpha\,d\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac12\ln\left|\sin\alpha+\cos\alpha\right|+C.\]

Ответ: $\displaystyle \dfrac{\alpha}{2}-\dfrac12\ln\left|\sin\alpha+\cos\alpha\right|+C$.

4) \(\displaystyle \int \dfrac{\sin\alpha\,d\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\)