4. Длина биссектрисы $$l_c$$, проведённой к стороне $$c$$ треугольника со сторонами $$a, b$$ и $$c$$, вычисляется по формуле $$l_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab((a+b)^2 - c^2)}$$. Найдите биссектрису $$l_c$$, если $$a = 14, b = 21$$ и $$c = 25$$.

Решение:

Дан треугольник со сторонами \( a = 14 \), \( b = 21 \) и \( c = 25 \). Длина биссектрисы \( l_c \), проведённой к стороне \( c \), вычисляется по формуле:

\[ l_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab((a+b)^2 - c^2)} \]

1. Подставим значения сторон в формулу:

\[ l_c = \frac{1}{14+21} \sqrt{14 \cdot 21((14+21)^2 - 25^2)} \]

2. Вычислим сумму \( a+b \):

\[ 14 + 21 = 35 \]

3. Вычислим произведение \( ab \):

\[ 14 \cdot 21 = 294 \]

4. Вычислим квадрат суммы \( (a+b)^2 \):

\[ 35^2 = 1225 \]

5. Вычислим квадрат стороны \( c^2 \):

\[ 25^2 = 625 \]

6. Вычислим выражение под корнем:

\[ (a+b)^2 - c^2 = 1225 - 625 = 600 \]

7. Подставим полученные значения обратно в формулу для \( l_c \):

\[ l_c = \frac{1}{35} \sqrt{294 \cdot 600} \]

8. Вычислим произведение под корнем:

\[ 294 \cdot 600 = 176400 \]

9. Извлечём квадратный корень:

\[ \sqrt{176400} = 420 \]

10. Теперь найдём \( l_c \):

\[ l_c = \frac{1}{35} \cdot 420 \]

11. Выполним деление:

\[ l_c = \frac{420}{35} = 12 \]

Ответ: $$l_c = 12$$.