4. Длина биссектрисы lc проведенной к стороне с треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле \( l_c = \sqrt{ab\left(1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right)} \). Треугольник имеет стороны 9, 18 и 21. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 21.

Решение:

По условию, стороны треугольника равны \( a=9 \), \( b=18 \), \( c=21 \). Нам нужно найти длину биссектрисы, проведённой к стороне \( c \), то есть \( l_c \).

Используем данную формулу:

\( l_c = \sqrt{ab\left(1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right)} \)

1. Подставим значения сторон: \( a=9 \), \( b=18 \), \( c=21 \).
2. \( a+b = 9+18 = 27 \)
3. \( \frac{c}{a+b} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \)
4. \( \left(\frac{c}{a+b}\right)^2 = \left(\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{49}{81} \)
5. \( 1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81-49}{81} = \frac{32}{81} \)
6. \( ab = 9 \times 18 = 162 \)
7. \( l_c = \sqrt{162 \times \frac{32}{81}} \)
8. \( l_c = \sqrt{\frac{162}{81} \times 32} = \sqrt{2 \times 32} = \sqrt{64} = 8 \)

Ответ: 8.