4. Длина биссектрисы lc, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле lc = 1/(a+b) * sqrt(ab((a+b)^2 - c^2)). Найдите биссектрису lc, если a = 14, b = 21 и c = 25.

Решение:

Для нахождения длины биссектрисы \(l_c\) воспользуемся формулой:

\[ l_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab\left((a+b)^2 - c^2\right)} \]

Подставим заданные значения сторон треугольника: \( a = 14 \), \( b = 21 \), \( c = 25 \).

1. Вычислим сумму \(a+b\):

\( a+b = 14 + 21 = 35 \)


2. Вычислим \((a+b)^2\):

\( (a+b)^2 = 35^2 = 1225 \)


3. Вычислим \(c^2\):

\( c^2 = 25^2 = 625 \)


4. Найдем значение под корнем:

\( (a+b)^2 - c^2 = 1225 - 625 = 600 \)


5. Найдем произведение \(ab\):

\( ab = 14 \cdot 21 = 294 \)


6. Вычислим выражение под корнем \(ab\left((a+b)^2 - c^2\right)\):

\( 294 \cdot 600 = 176400 \)


7. Найдем квадратный корень:

\( \sqrt{176400} = \sqrt{1764 \cdot 100} = \sqrt{42^2 \cdot 10^2} = 42 \cdot 10 = 420 \)


8. Подставим найденные значения в формулу для \(l_c\):

\[ l_c = \frac{1}{35} \cdot 420 \]


9. Выполним деление:

\( l_c = \frac{420}{35} = 12 \)

Ответ: 12.