4. Длина биссектрисы проведённой к стороне с треугольника со сторонами а, b и с, вычисляется по формуле \( l_c = \sqrt{\frac{ab(1 - (a+b-c)/(a+b))^2}{1}} \). Треугольник имеет стороны 9, 18 и 21. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 21.

Решение:

В данной задаче формула дана с опечатками. Корректная формула для длины биссектрисы \( l_c \) к стороне \( c \) в треугольнике со сторонами \( a \), \( b \) и \( c \) выглядит так: \( l_c = \sqrt{ab \left(1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right)} \) или, если биссектриса проведена к стороне \( c \), то \( l_c = \sqrt{ab - \left(\frac{ab}{a+b}\right)^2} \).

Однако, в условии приведена формула \( l = \sqrt{\frac{ab(1 - (a+b-c)/(a+b))^2}{1}} \). Если использовать её, то принимаем, что \( a=9 \), \( b=18 \), \( c=21 \) (сторона, к которой проводится биссектриса).

Подставим значения в формулу:

1. Сначала вычислим значение дроби \( \frac{a+b-c}{a+b} \): \( \frac{9+18-21}{9+18} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \).
2. Теперь подставим это значение в формулу для \( l_c \): \( l_c = \sqrt{9 \cdot 18 \left(1 - \left(\frac{2}{9}\right)^2\right)} \)
3. Вычислим квадрат дроби: \( \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{4}{81} \).
4. Подставим обратно: \( l_c = \sqrt{162 \left(1 - \frac{4}{81}\right)} = \sqrt{162 \left(\frac{81-4}{81}\right)} = \sqrt{162 \cdot \frac{77}{81}} \)
5. Сократим \( 162 \) и \( 81 \): \( l_c = \sqrt{2 \cdot 77} = \sqrt{154} \)

Если использовать более стандартную формулу \( l_c = \sqrt{ab - \left(\frac{ab}{a+b}\right)^2} \):

1. \( a=9, b=18, c=21 \)
2. \( ab = 9 18 = 162 \)
3. \( a+b = 9+18 = 27 \)
4. \( \frac{ab}{a+b} = \frac{162}{27} = 6 \)
5. \( \left(\frac{ab}{a+b}\right)^2 = 6^2 = 36 \)
6. \( l_c = \sqrt{162 - 36} = \sqrt{126} \)

Поскольку в задании приведена конкретная формула, будем считать, что именно её нужно использовать, несмотря на возможные опечатки.

Ответ: \(\sqrt{154}\).