4. Для единичного квадрата ABCD найдите скалярное произведение векторов: а) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\); б) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Обозначим сторону квадрата через 1.

1. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\).
2. Длина \(\overrightarrow{AB}\) равна 1, длина диагонали \(\overrightarrow{AC}\) равна \(\sqrt{2}\), а угол между ними равен 45°.
   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos 45^\circ=1\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1.\)
   Ответ: а) 0; б) 1.