4. Для функции $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ найти значение суммы $S=f(0)+f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2022}{2023}\right)+f(1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Для функции $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ найти значение суммы…$ Фото задания

4. Для функции $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ найти значение суммы $S=f(0)+f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2022}{2023}\right)+f(1)$.

Accepted Answer

В сумме присутствуют значения функции в точках $\frac{k}{2023}$, где $k=0,1,\ldots,2023$.

Сгруппируем слагаемые, соответствующие точкам $x$ и $1-x$. Для них

\[f(x)+f(1-x)=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=1.\]

Действительно, во втором слагаемом домножим числитель и знаменатель на $4^x$: оно равно $\frac{4}{4+2\cdot4^x}$, и сумма дробей равна $1$.

Среди 2024 слагаемых получаются 1012 пар: $f(0)+f(1)$, $f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)$ и так далее. Каждая пара равна 1.

Ответ: $S=1012$.

4. Для функции \(f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}\) найти значение суммы \(S=f(0)+f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2022}{2023}\right)+f(1)\).

Ответ: