4. Для функций \(f(x)=\sqrt{x+1}\) и \(g(x)=3x-2\) найдите формулы \((f\circ g)(x)\) и \((g\circ f)(x)\). Укажите область определения каждой композиции.

1. Подставим \(g(x)=3x-2\) вместо аргумента функции \(f\):

   \((f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{(3x-2)+1}=\sqrt{3x-1}\).

   Для существования квадратного корня необходимо \(3x-1\geq 0\), откуда \(x\geq \frac{1}{3}\).

2. Подставим \(f(x)=\sqrt{x+1}\) вместо аргумента функции \(g\):

   \((g\circ f)(x)=g(f(x))=3\sqrt{x+1}-2\).

   Здесь требуется \(x+1\geq 0\), поэтому \(x\geq -1\).

Ответ: \((f\circ g)(x)=\sqrt{3x-1}\), область определения \([\frac{1}{3};+\infty)\); \((g\circ f)(x)=3\sqrt{x+1}-2\), область определения \([-1;+\infty)\).