№4. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(\omega=156^\circ/\text{мин}\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=12^\circ/\text{мин}^2\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет \(336^\circ\). Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Подставим известные значения в закон движения:

\[336=156t+\frac{12t^2}{2}.\]

Упростим уравнение:

\[6t^2+156t-336=0,\]

\[t^2+26t-56=0.\]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[D=26^2-4\cdot1\cdot(-56)=900,\quad \sqrt D=30.\]

\[t_1=\frac{-26+30}{2}=2,\qquad t_2=\frac{-26-30}{2}=-28.\]

Отрицательное значение времени не подходит, поэтому \(t=2\) мин.

Ответ: 2 минуты.