№ 4. Доказать, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ — ромб. По рисунку A₁, B₁, C₁, D₁ — середины сторон прямоугольника ABCD.

Обозначим длины диагоналей прямоугольника через AC и BD. В прямоугольнике диагонали равны: AC = BD.

1. В треугольнике ABC точки A₁ и B₁ — середины сторон AB и BC. Поэтому A₁B₁ — средняя линия: A₁B₁ = AC / 2.
2. В треугольнике BCD точки B₁ и C₁ — середины сторон BC и CD. Поэтому B₁C₁ — средняя линия: B₁C₁ = BD / 2.
3. Аналогично, C₁D₁ = AC / 2, а D₁A₁ = BD / 2.
4. Поскольку AC = BD, получаем A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁. Следовательно, четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Доказательство использует, что ABCD — прямоугольник. Если на рисунке подразумевается лишь произвольный четырёхугольник, данных для такого вывода недостаточно.