4. Доказать: если в трапеции углы при основании равны, то она — равнобедренная.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, а углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠CDA.

1. Проведём из B и C перпендикуляры к прямой AD. Обозначим их основания E и F. Тогда BE = CF: это высоты между параллельными прямыми AD и BC.
2. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и острому углу: ∠BAE = ∠CDF, поскольку это углы при основании трапеции.
3. Из равенства треугольников следует, что AB = CD.

В трапеции равны боковые стороны, значит, она равнобедренная.