4. Докажите, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что АВ || CD и ВС || AD.

Задание 4. Доказательство равенства углов

Дано:

• Четырехугольник \( ABCD \).
• \( AB ∥ CD \).
• \( BC ∥ AD \).

Доказать: \( ∠ A = ∠ C \).

Доказательство:

1. Так как \( AB ∥ CD \) и \( BC ∥ AD \), то четырехугольник \( ABCD \) является параллелограммом по определению.
2. В параллелограмме противоположные углы равны.
3. Следовательно, \( ∠ A = ∠ C \) и \( ∠ B = ∠ D \).
4. Альтернативное доказательство:
5. Проведем диагональ \( AC \).
6. Рассмотрим треугольники \( ∆ ABC \) и \( ∆ CDA \).
7. \( AB = CD \) и \( BC = DA \) (противоположные стороны параллелограмма равны).
8. \( AC \) — общая сторона.
9. Следовательно, \( ∆ ABC = ∆ CDA \) по третьему признаку равенства треугольников.
10. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: \( ∠ BAC = ∠ DCA \) и \( ∠ BCA = ∠ DAC \).
11. \( ∠ A = ∠ BAC + ∠ DAC \).
12. \( ∠ C = ∠ DCA + ∠ BCA \).
13. Так как \( ∠ BAC = ∠ DCA \) и \( ∠ BCA = ∠ DAC \), то \( ∠ A = ∠ C \).

Что и требовалось доказать.