4. Докажите, что на шахматной доске нельзя расставить 17 коней так, чтобы каждый бил ровно четырех из оставшихся.

Рассмотрим раскраску шахматной доски. Конь всегда переходит с поля одного цвета на поле другого цвета. Если расставить 17 коней, то каждый конь атакует поля противоположного цвета.

На шахматной доске 32 белых и 32 черных поля. Если каждый из 17 коней атакует ровно 4 других коня, то общее число атак, исходящих от этих 17 коней, равно 17 * 4 = 68. Каждая атака учитывается дважды (от атакующего коня и от атакуемого).

Если бы такое расположение было возможно, то число атак, исходящих с полей одного цвета, должно было бы соответствовать числу атак, приходящих на поля другого цвета. Однако, при 17 конях, если бы они были распределены поровну (8 на одном цвете, 9 на другом), то число атак с одного цвета на другой не могло бы быть равным 68, где каждый конь атакует ровно 4. Доказано.