4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях n > 1 значение выражения 1^n + 2^n + 3^n + … + 99^n кратно 100.

Сгруппируем слагаемые попарно:

\[ (1^n+99^n)+(2^n+98^n)+\dots+(49^n+51^n)+50^n. \]

Так как \(n\) нечётное, то по модулю 100:

\[ (100-k)^n\equiv(-k)^n\equiv-k^n\pmod{100}. \]

Следовательно, каждое слагаемое в скобках делится на 100:

\[ k^n+(100-k)^n\equiv k^n-k^n\equiv0\pmod{100}. \]

Кроме того, поскольку \(n>1\), имеем \(n\ge2\), поэтому

\[50^n=50^2\cdot50^{n-2}=2500\cdot50^{n-2},\]

а значит, \(50^n\) делится на 100.

Все сгруппированные слагаемые делятся на 100, следовательно, и вся сумма делится на 100.

Ответ: \(1^n+2^n+3^n+\dots+99^n\) кратно 100.